1966 trat Henning Voscherau der Sozialdemokratischen Partei (SPD) bei. Seine politische Karriere begann 1970, als er Mitglied der Kreisversammlung in Wandsbek wurde. Vier Jahre später, 1974, wurde er zum Mitglied der Hamburgischen Bürgerschaft gewählt. Von 1981 bis 1989 war Voscherau stellvertretender Vorsitzender der Hamburger SPD, 1982 wurde er auch Vorsitzender der SPD-Fraktion im Hamburger Stadtparlament, von dem er 1987 nach Differenzen mit dem Bürgermeister Klaus von Dohnanyi über den Umgang mit illegalen Hausbesetzern in Hamburg (im Bereich der Hamburger Hafenstraße) zurücktrat.
Voscherau wurde am 8. Juni 1988 Erster Bürgermeister der Freien und Hansestadt Hamburg und hatte dieses Amt bis zum 8. Oktober 1997 inne. Er trat aus dem Amt des Bürgermeisters zurück, da er nach dem Wahlsieg 1997 eine Koalition mit der lokalen STATT-Partei aufbauen wollte, statt dessen favorisierte die Hamburger SPD eine Koalition mit den Grünen. Obwohl er in diesem Jahr von der aktiven Politik in Hamburg zurücktrat und wieder als Notar tätig wurde, blieb er bis 2001 Vizepräsident der SPD.
Ende 2005/Anfang 2006 versuchte Voscherau kurzzeitig ins politische Leben Hamburgs zurückzukehren, als er ankündigte, wieder als Bürgermeister zu kandidieren. Dies wurde in seiner eigenen Partei mit heftigem Widerstand beantwortet, und am 20. Mai
Henning Voscherau war verheiratet und hatte drei Kinder. Sein Vater war Carl Voscherau, ein deutscher Bühnen- und Filmschauspieler, sein Bruder Eggert ist Vorstandsmitglied der BASF.