Gottschalk, der Sohn eines Arztes, wurde in der kleinen Stadt Calau in der preußischen Provinz Brandenburg geboren. Er besuchte das Gymnasium in Cottbus und arbeitete ab 1924 vier Jahre lang auf Seeschiffen. Später begann er eine Theaterausbildung in Cottbus und Berlin. Während eines Engagements in Stuttgart traf er seine spätere Frau, die jüdische Schauspielerin Meta Wolff (1902-1941). Beide heirateten am 3. Mai 1930 in Halberstadt, kurz bevor Hitler an die Macht kam. Sie hatten einen Sohn, Michael, der im Februar 1933 geboren wurde.
Nach der Machtergreifung 1933 förderte Propagandaminister Joseph Goebbels die Gründung der Reichskulturkammer. Die Schauspieler mussten die Mitgliedschaft in der Theaterkammer gegen Vorlage eines „arischen Zeugnisses“ beantragen, was für Gottschalks Frau ein Berufsverbot bedeutete. Dem Paar gelang es, die antisemitischen Nürnberger Gesetze und die wachsende Flut antisemitischer Gewalt in Nazi-Deutschland zu vermeiden. Ab 1934 trat Gottschalk am Schauspielhaus Frankfurt auf und trat 1938 dem Ensemble der Volksbühne in Berlin bei. Im selben Jahr begann er seine Filmkarriere mit der Romanze Du und ich in der Regie von Wolfgang Liebeneiner, Seite an Seite mit der bekannten deutschen Schauspielerin Brigitte Horney.
Während der Zweite Weltkrieg mit der deutschen Invasion Polens 1939 begann, traten Gottschalk und Horney als „Traumpaar“ in einer Reihe erfolgreicher Filme auf. Gottschalk nahm seine jüdische Frau mit in eine gesellschaftliche Funktion und stellte ihr einige der anwesenden prominenten Nazis vor. Obwohl die Nazis verzaubert waren, erfuhr Goebbels (ein bösartiger Antisemit) von diesem Vorfall und verfügte, dass Gottschalk sich von seiner jüdischen Frau trennen müsse. Als Gottschalk ablehnte, befahl Goebbels Gottschalks Frau und Kind ins KZ Theresienstadt zu bringen[Zitat erforderlich]. Der Sonderbeauftragte des Ministers, Hans Hinkel, beharrte auf der Scheidung und Gottschalk wurde gedroht, keine weiteren Rollen zu spielen[Zitat erforderlich]. Gottschalk bestand darauf, Meta und Michael nach Theresienstadt zu begleiten, aber Goebbels ließ Gottschalk in die Wehrmacht einführen.
Am 6. November 1941, Minuten vor der erwarteten Ankunft der Gestapo in ihrem Haus in Berlin-Grunewald, begingen Gottschalk und seine Frau Selbstmord durch Gasvergiftung, nachdem sie ihren mit ihnen verstorbenen Sohn betäubt hatten. Sie sind auf dem südwestlichen Friedhof von Stahnsdorf begraben. Zwar warnten Minister Goebbels, Brigitte Horney und Wolfgang Liebeneiner, aber auch andere Künstler wie Gustav Knuth, Hans Brausewetter, Werner Hinz und Ruth Hellberg.
Goebbels bestellte keine weiteren Erwähnungen von Gottschalk in den deutschen Zeitungen, aber die Nachricht kam trotzdem heraus und Millionen von deutschen Frauen trauerten um ihn. Wegen der Nazi-Zensur erfuhren die meisten seiner treuen Fans die schrecklichen Umstände seines Todes erst nach dem Krieg. 1947 führte Kurt Maetzig nach einer Novelle von Hans Schweikart, die an das Schicksal des Paares erinnerte, die DEFA-Melodramm „Ehe im Schatten“. Das 2002 entstandene Drama Times Like These von John O’Keefe basiert auf ihrer individuellen Tragödie.